你真的會解方程嗎?一文讀懂方程和對稱性


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你真的會解方程嗎?一文讀懂方程和對稱性

你真的會解方程嗎?今天我們從簡單的解方程開始,為大家介紹一位英年早逝的數學家的工作,從這些工作中我們將看到優美的對稱性,以及蘊含在其中的和諧奧妙。

撰文| Marianne Freiberger

翻譯| Nothing

審校| C&C

尼爾斯·亨里克·阿貝爾

1824年,一位年輕的挪威數學家尼爾斯·亨里克·阿貝爾取得了一個與某類方程相關的令人震驚的結果。不久之後,法國天才數學家埃瓦里斯特·伽羅瓦以深入的眼光證明了這一結果為什麼是正確的——並在這個過程中開創了用數學研究對稱性的先河。可惜兩人都英年早逝,沒有來得及享受他們的工作帶來的好處。阿貝爾於1829年死於肺結核和貧困,時年26歲。伽羅瓦死於1832年,他在一場據稱是為了爭奪一個女人而進行的決鬥中被殺死。當時他只有二十歲。

那麼他們做出了什麼樣的工作?方程和對稱性又有什麼關係?

解方程

求解方程

最著名的公式之一是二次方程的通解公式,如果方程寫為:

雖然關於二次,三次,四次方程的通解公式看起來有些複雜,但是它們只包含了有限個運算操作:加、減、乘、除、開平方、開三次方、開四次方。

很顯然,你接下來會問,我們可以為五次方程找到一個類似的通解公式嗎?

更一般的,包含x高階項的多項式方程的通解公式長什麼樣子?

伽羅瓦畫像在他死後16年的1848年,由他的兄弟根據記憶所作

我們想要的是一個公式,這個公式只包含加減乘除和求根操作。如果一個方程具有這樣一個通解公式,那麼我們說這個方程是有根式解的。

1824年阿貝爾證明的結論是:對於一般的五次方程,不存在根式解。當然,這並不意味所有的五次方程都是沒有根式解的。例如,多項式方程:

擁有一個解:

但是對於一般的五次方程,確實不存在一個普適的根式解公式。

阿貝爾證明了這一結果,但幾年後,伽羅瓦才真正意識到為什麼五次方程不存在根式解。伽羅瓦常被認為群論的奠基人,群論是一門研究對稱性的數學。我們通常認為對稱性是一種視覺現象:一幅畫或圖案可能是對稱的。但是對稱性和方程有什麼關係呢?答案有些微妙,但非常美麗。

不變的對稱性

不變的對稱性

首先,讓我們思考對稱性真正的含義。我們說一個正方形是對稱的是因為我們將它繞著中心軸旋轉90度,或者將它對於各種軸做反射操作並不會改變它的外觀。所以對稱性意味著沒有變化:如果我們對某個物體進行某種操作之後並沒有改變它,那麼它就具有對稱性。

當我們思考二次方程式,我們可以發現少許對稱性。例如,二次方程

擁有兩個解

方程具有兩個離散的解,但是某種意義上,它們非常相似:只需在一個解上加上一個負號就可以得到另一個解。也許交換兩個解並不會帶來什麼不同,就像對正方形做鏡像操作一樣意味著一種對稱性一樣,交換方程的兩個解也許也意味著某種對稱性。但究竟是哪種對稱性呢?

加入無理數

包括非理性

蝴蝶有對稱性,方程也有對稱性!

為了理解這些結果,讓我們考察一下方程所包含的數字:

交換兩個解

開關解決方案

伽羅瓦群

伽羅華組

為什麼你解不出一般的五次方程?

為什麼你不能解決一般五次?

我們可以對其他任意多項式做類似的事情,例如對一個五次方程:

紀念伽羅瓦的法國郵票

伽羅瓦所能證明的是,一個方程是否有根式解,取決於它的伽羅瓦群的結構。有時候伽羅瓦群可以被分成更小的分量,它們和取n次方根有關。如果是這種情況,那麼方程擁有根式解。

然而,如果它無法以恰當的方式分被解成更小的分量,如果你不能把對稱性分離出來,那麼你就找不到一個只涉及加、減、乘、除和求根的通解,在這種情況下,方程不存在根式解。

我們可以證明,五次方程並不能以恰當的方式分解。因此,五次方程不存在根式通解。對於包含x的更高次冪的多項式方程也是一樣的:它們沒有根式通解。用群論研究方程的解被稱為伽羅瓦理論,這一理論以其發明者的名字命名。

本文經授權轉載自微信公眾號“中科院物理所”。

原文鏈接:https://plus.maths.org/content/stubborn-equations