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如何理解最大最小的數,能否寫出來,現實中有哪些最大或最小?

本文基於回答網友類似問題。

  • 可以肯定的是,這個世界上沒有最大或最小的數字。

因為數字是無止境的,它可以存在於任何虛幻想像中。不管是有理數還是無理數還是小數,都沒有一個極限,如果有人立志要寫出一個最大數,就需要子子孫孫沒有窮盡地寫下去,寫滿黑板、寫滿國土、寫滿地球、寫滿太陽系銀河系、寫滿可觀測宇宙,還是寫不完,天荒地老,永無止境。

反證法可以簡單證明這個世界沒有所謂最大和最小的數:如果p為最大數,必然還存在p+1>p;同理,p’為最小數,必然還存在p’-1<p’。因此在表示無窮大的數和無窮小的數時,一般可用符號+∞或-∞。

無理數的循環小數也可以無限循環,如π;小數點以後的0也可以永遠寫下去,以致無窮。無論寫了多少0,最後只要有一個1保底,就有意義了。但問題是這個1沒有最後,任何時候寫上1,後面還可以添無數的0和1,因此也永遠也沒有最小的小數。

  • 有人弄了個葛立恆數,被認為是“有意義”的最大數。

這個理論是美國數學家葛立恆弄出來的,其源自於圖論,是一個極其巨大的自然數。為了表示這個數,需要用到高德納箭號表示法(引用):

以a和b都取3為例:

3↑3 = 3×3×3 = 27

在一個箭號的情況下,3↑3=3^3,這樣看起來與指數相比並沒有什麼特別的。但如果再加一個箭號,這個數的大小將會劇增:

3↑↑3 = 3↑3↑3 = 3↑27 = 7625597484987

在兩個箭號的情況下,3↑↑3=3^27,結果已經到萬億級別。如果再多一個箭號,這個數將會大到無法用普通的簡便方法來表示:

3↑↑↑3=3↑↑3↑↑3=3↑↑7625597484987=3^3^3^3……^3(共有3^27個3)

但葛立恆數還要遠遠大於3↑↑↑3。定義如下的式子:

g(n)= 3↑^ g(n-1)3

在這個式子中,g(1)=3↑↑↑↑3。每一層數都用於表示上一層的箭號數量,隨著n的增加,g(n)的數值會以極快速度增大。當n=64時,g(64)為葛立恆數。

這個數值有多大呢?就是你怎麼想像都無法描述,有人說將全宇宙的所有粒子都變成墨水,每張A4紙都寫滿數字,不管寫多小,這些紙裝滿整個可觀測宇宙也寫不完;更有人說了,即便每個字只有科學家們認為有意義的最小尺度普朗克大小,整個可觀測宇宙也裝不下這些數字。

還有人說了,不要說裝下每一個數字,就是把這個數值的位數寫出來,宇宙也裝不下。

什麼叫位數? 10000是5位數,就寫個5;100位數就寫個100,即便這樣寫也寫不完。但葛立恆數不是無限的,而是在正式數學證明中有頭有尾的,是吉尼斯世界紀錄中“有意義”的最大自然數。

人們無法得到這個數有多少位數,因為它大得任何科學記數法也不夠用。但通過證明,可以得到最後的數字是什麼,現在已知最後的一個數字是“7”,最後12位數是“262464195387”,而最後500位數是(引用):

02425 95069 50647 38395 65747 91365 19351 79833 45353 62521

43003 54012 60267 71622 67216 04198 10652 26316 93551 88780

38814 48314 06525 26168 78509 55526 46051 07117 20009 97092

91249 54437 88874 96062 88291 17250 63001 30362 29349 16080

25459 46149 45788 71427 83235 08292 42102 09182 58967 53560

43086 99380 16892 49889 26809 95101 69055 91995 11950 27887

17830 83701 83402 36474 54888 22221 61573 22801 01329 74509

27344 59450 43433 00901 09692 80253 52751 83328 98844 61508

94042 48265 01819 38515 62535 79639 96189 93967 90549 66380

03222 34872 39670 18485 18643 90591 04575 62726 24641 95387

人們還可以從前往後,從後往前推出許多位,但無法算盡,因為中間這個肚子到底有多大,誰也說不清。據稱,就是用現在最快的計算機每秒計算10億億次,從宇宙大爆炸開始,算到今天,一秒不停地計算138億年,也無法窮盡這個數值。

葛立恆數可以用數學語言簡單描述為(引用):

連接n維超立方體的每對幾何頂點,獲得一個有著2^n個頂點的完全圖(每對頂點之間都恰連有一條邊的簡單圖)。將該圖每條邊的顏色填上紅色或藍色。那麼,使所有填法在四個共面頂點上包含至少一個單色完全子圖的最小n值為多少?這個數值無比巨大,無法用科學記數法表示,就連a^(b^(c^(…)))這樣的指數塔形式也無濟於事,甚至連數學家都難以理解它。

  • 除了葛立恆數,數學家們還弄出了個TREE(3)。

TREE(3)是個比葛立恆數大很多的數字,但是不是“有意義”,似乎還沒有定論。說實話,俺也只知道有這麼個事,但這個TREE(3)到底是咋回事,俺也是雲裡霧裡,只能鸚鵡學舌的胡謅幾句,拋磚引玉僅供參考。

TREE在英文裡就是“樹”的單詞,TREE(3)的含義是函數名稱叫TREE,而函數自變量取值是3。 TREE(3)的定義比葛立恆數更簡單,說起來它就是一個畫“樹”的遊戲,這個“樹”就是樹林的樹。有點像公司構架圖或者家譜圖,這種樹枝結構雖然簡單,但要說清這個數值有多大,實在很難,只能這麼說:前面說的葛立恆數在TREE(3)面前,什麼都不是,可以忽略不計,從零開始。

當然,這些理論不是像網絡上一些人胡思亂想信口開河的,而是有一套一套數理邏輯來論證的,是得到數學家和內行們公認的一個理論,我們這些非數學專家雖然不一定能弄懂,但要尊重科學創造,不知為不知是知也,自己不清楚就要虛心學習,不要輕易去否定用科學方法得到的結果。

以上是理論上存在的最大最小數,只能用數學語言來證明和定義,實際上無法具體描述有多大。那麼在現實中存在的最大最小數是什麼呢?這要看怎麼理解了。

  • 現在來說說宇宙中的幾個最大和最小。

如果說具體的事物,只能說是宇宙最大了,因為人類永遠也無法走出這個宇宙,至於宇宙之外還有什麼,現在科學無法解釋,也無法說清楚。如果按照愛因斯坦場論來解釋,宇宙存在於時空曲率中,無論我們觀測還是理解,都無法突破這個時空曲率。宇宙包羅萬象,因此沒有宇宙之外,如果有“外面”,“外面的外面”,也還是宇宙。

那麼這個宇宙有多大呢?現在也無法知道,通過數學建模和宇宙膨脹理論,我們只知道可觀測宇宙半徑大約為465億光年。 1光年是光在真空中走1年的尺度,真空光速為299792458m(米)/s,每個儒略年為365.25天共31557600s(秒),1光年就是約9.46萬億km(千米)。那麼可觀測宇宙的半徑用km表述就是約4.4*10^23km,即4400萬億億km。

這就是我們現階段認為可以理解的宇宙的尺度。在這個宇宙裡,發生了幾個最大最極端的事件:宇宙創始於138億年前的一個奇點,這個奇點大爆炸後經歷了138億多年的膨脹,成為我們看到的宇宙。大爆炸剛開始那一瞬間不知道溫度有多高,因為奇點的表述為體積無限小,溫度無限高,曲率無限大,密度無限大。

理論上只知道在普朗克時間後發生的事。普朗克時間就是大爆炸後約10^-43s(秒)這個時候,空間直徑只有普朗克尺度,即約1.6*10^-35m,宇宙溫度約為10^32K,密度為10^94g/ cm^3,超過質子密度的10^78倍。上述數學語言通俗的說,就是宇宙大爆炸開始1000億億億億億分之一秒時,宇宙直徑只有1600億億億分之一米,宇宙的溫度大概為1億億億億K,宇宙密度為1億億億億億億億億億億億噸/cm^3。

普朗克時間和空間都是理論上人類能夠理解的最小單位,而普朗克密度和普朗克溫度是理論上能夠理解的最高密度和溫度。這些普朗克時間出現的普朗克現象,都屬於物理學或量子力學範疇,已經是過去時,在我們現在的世界都不可能重現。

經過長期觀測發現和研究,人們知道了宇宙中物質運動最快速度就是真空光速,宇宙中最低溫度為絕對零度,也就是0 K,即-273.15℃。任何有靜止質量的物體都不可能達到光速,一個質子也不行;絕對零度是熱力學的最低溫度,只能無限逼近而不能達到,因為溫度高低取決於分子原子運動,絕對零度表示這個空間沒有了分子原子運動,空間為零,宇宙消亡。

  • 人類現在能做到的幾個最大和最小。

現在人類測量到的最高溫度為10萬億K,最低溫度為100億分之一K。這兩種溫度都是人類創造的,最高溫度在大型強子對撞機裡實現,最低溫度在國際空間站冷原子實驗室實現。當然這兩種溫度都是在亞原子層面的微觀狀態下獲得,要依靠極其精密的監測設備才能夠觀測到。

而宇宙中現在可觀測的最高溫度為伽馬射線暴,溫度可達數千億度到萬億度,尚未達到人造溫度;最低溫度為布莫讓星雲,那裡的溫度約為1 K,是人類創造最低溫度的100億倍。

這樣看起來人類已經很牛了,但實際上還有很多方面比自然之最相差甚遠。比如人造速度相比光速就太蝸牛了,迄今最快人造飛行器是NASA於2018年發射的帕克太陽探測器,現在速度已經達到每秒100km以上,2024年12月最接近太陽時,速度可以達到200km /s,但這只是光速的1/1500;人類飛得最遠的飛行器是NASA於1977年9月發射的旅行者1號探測器,飛了44年,距離地球才227億km,要飛出半徑約1光年的太陽引力範圍,還需要飛17000多年。

人類雖然飛得不快,但拍攝速度已經很快了,美國加州理工學院和加拿大魁北克大學的科學家合作,研發出了世界上拍攝速度最快的相機,每秒鐘能夠拍攝10萬億幀畫面,可以讓光速流動過程成為慢鏡頭(上圖),被人眼看得清清楚楚。

宇宙中還有許多“之最”,人類也還創造過許多“之最”,這裡就不一一介紹了,有興趣的朋友可以查看我以往發過的文章或到網絡上搜尋。碼字不易,如喜歡就請給個點贊和關注吧,謝謝閱讀,歡迎討論。

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