宇宙中真的存在平行線嗎?


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宇宙中真的存在平行線嗎?

上回我們說到,愛因斯坦通過非凡的思想實驗,將引力的作用效果和時空結構等價了起來,他認為我們感受到的引力,只是時空發生了彎曲。彎曲的時空決定了物質的運動軌跡,所以我們就產生了有引力作用的錯覺。

那麼愛因斯坦接下來需要做的就是建立一個彎曲時空的引力理論。彎曲的時空?這有點違背人們的直覺,我們能感受到的空間好像是平坦的,沒有彎曲,至少我們看不見空間是彎曲的。

這就是愛因斯坦的過人之處,能夠撇開直覺的影響,僅憑思維就窺見出事物背後的本質,在他研究彎曲空間的時候,由於愛因斯坦的數學能力有限,他就找了大學同學格羅斯曼,格羅斯曼是非歐幾何方面的專家,他就建議愛因斯坦關注下黎曼幾何,可以解決彎曲空間的問題。

除此之外,愛因斯坦還專門花了一年的時間,在大學裡惡補了微積分。這才有了廣義相對論的數學形式,而黎曼幾何也就成為了廣義相對論的基礎。

為了能夠真正地了解時空的彎曲,我們需要知道人類對空間幾何的認識。

人類對世界的認識是從經驗規律開始的,所以直覺在早期的科學發展中起到了非常重要的作用,因此跟大多數的人一樣,數學家、物理學家一開始都認為我們生活在一個平直的空間中,處處均勻、處處平坦。

因此我們的幾何學也是從平直的空間開始,那就是我們非常熟悉的歐幾里得幾何學,稱為歐式幾何。

歐式幾何堪稱人類早期邏輯思維的典範,它從5條公理出發,經過邏輯演繹推導出了23個定理,解決了467個命題。是人類建立的第一個完整的、邏輯嚴密的公理體系。

前面我們也多次提到,牛頓的《原理》以及愛因斯坦的《論動體的電動力學》在形式上跟歐幾里得的《幾何原本》是一樣的,定義、假設、推導、結論!

所以說歐式幾何非常的完美,也很符合生活經驗,因此就統治了人類長達數千年的時間,人們也認為歐式幾何完美地描述了物理現實,我們的宇宙就是平直的空間。

但是到了19世紀,人們就發現歐式幾何中的第五條公設貌似存在問題,這條公設是對平行線的定義,說簡單點就是,過直線外一點,僅可做一條直線與已知直線平行。

人們就覺得第五條公設表述得很複雜,看起來更像是個可以被證明的定理,而不是公設。所以大批的數學家就想利用前四條公設,去證明第五條公設,但是都遭遇了失敗。

1920年代,俄羅斯的數學家羅巴契夫斯基另闢蹊徑,使用了反證法想證明歐氏幾何中的第五條公式。

他提出了一個和歐氏平行線公理相矛盾的命題,來取代第五條公設,即:過已知直線外的一點,至少可以做兩條直線與其平行。

在加上前四條公設,羅巴契夫斯基經過一陣推理,結果發現得出來的結論在邏輯上沒有一點矛盾。

所以羅巴契夫斯基就相信,根據新的公理體系推導出來的一系列新的定理,構成了一個完整的新理論。

這個新理論跟歐氏幾何一樣完備。成為了一個新的幾何,稱為羅氏幾何。

在當時可以說所有的數學家都搞不懂,羅巴契夫斯基在說什麼?尤其是看到他的文章中說,過直線外一點可以做兩條以上的平行線,認為這是離經叛道的歪理邪說。

唯獨高斯知道羅巴契夫斯基的新幾何學,而高斯選擇了沉默,因為當時歐氏幾何得到了教會的支持,高斯年事已高,已經功成名就,他不願意在冒任何風險,所以高斯也不敢表態。

因此羅巴契夫斯基在世的時候他的幾何並沒有機會發表,因為任何人一看都認為是在胡扯,我們生活在一個平直的空間中,怎麼能存在這種奇怪的幾何?

現在我們知道羅巴契夫斯基說的是雙曲幾何,也就是在負曲率曲面(馬鞍面)上的幾何。在這種曲面上,過直線外一點至少可以做兩條直線與已知直線平行。

而且負曲率曲面上畫一個三角形,其內角之和將小於180度。

1854年,高斯的學生黎曼,還發現存在一種幾何情況,在球面上三角形的內角和將大於180°。

而且在一個球面上,無法做已知直線的平行線。黎曼更改歐氏幾何的第五條公設,就發展出了橢球幾何,稱為黎曼幾何。

可以看出歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何,這三種幾何都描述了空間的形狀,歐式幾何描述的是平坦的0曲率空間,在其中可以做一條平行線,三角形的內角和等於180度,是其他兩種幾何的特殊情況。

羅氏幾何描述的是彎曲的負曲率空間,也就是馬鞍的樣子,在其中至少可以做兩條平行線,三角形的內角和小於180度。

黎曼幾何描述的是彎曲的正曲率空間,也就是球形的形狀,在其中不能做已知直線的平行線,三角形的內角和大於180度。

現在有了可以描述彎曲空間的幾何,愛因斯坦的理論就有了堅實的數學基礎,他利用黎曼發明出來的數學工具度規張量,從數學上描述了彎曲的時空結構,開創了廣義相對論。

廣義相對論認為,物質可以彎曲時空,曲率為正,空間曲率又告訴了物質如何運動!那麼物質如何在彎曲的空間中運動?

當然是沿著空間的曲率運動,就像是我們在地球表面運動一樣,按照的是地球表面的曲率在運動,當我們處在彎曲的空間中的時候,我們也會按照空間曲率運動。

那麼空間的曲率又如何體現呢?就是測地線,比如在地球上,兩點之間最短的距離是過兩點的大圓弧,這個大圓弧就是測地線,而且這個測地線還體現了地球的曲率。

而在彎曲的空間中,測地線就是空間中兩點之間最短的距離。光在空間中也不再沿著直線傳播,而是沿著空間的測地線傳播,測量彎曲空間中的測地線,我們就能測量出空間的曲率。

所以說,在我們的地球上根本就沒有所謂的歐氏平面直線,只有曲線,而且在地球這個局部的正彎曲空間中,也沒有所謂的平行線。

那麼在整個宇宙中呢?歐氏幾何中的平行線也只在局部成立,比如我們現在觀察到可觀測宇宙幾乎是平坦的,沒有任何曲率,所以在可觀測宇宙這個尺度上,我們就認為存在平行線。

但是整個宇宙空間我們依然認為是一個正曲率,也就是整個宇宙是閉合的球體,因此我們現在認為宇宙是有限無界的,就像是地球表面,有限大小,但是沒有界限。

你從地球表面不停的行走,找不到所謂的界限,只是在不停的兜圈子。宇宙也一樣,朝著一個方向不斷的前進,你會發現你其實是在兜圈子。

因此愛因斯坦曾經說過這樣一段話,如果你一直盯著前方看,你會看到你的後腦勺。

意思是說,你的後腦勺反射出來的光,不斷地飛行,會在宇宙中旅行一圈,又回到你的眼睛中,因為宇宙是一個閉合的球體。

所以對於整個宇宙的形狀來說,也就是沒有所謂的平行線了。