所有自然數之和是-1/12?它在物理學中還有特別的應用?


所有自然數之和是-1/12?它在物理學中還有特別的應用?的頭圖

所有自然數之和是-1/12?它在物理學中還有特別的應用?

前段時間收到一位熱心讀者的郵件。信中提到,如果認定1-1+1-1……=1/2為事實,就會得出1+2+3+……=-1/12這樣難以令人理解的結論。這位讀者所提及的自然數求和問題,恰巧在量子理論和弦理論中都起到頗為重要的作用。從真空的能量,到時空的維度數量,都與自然數之和有著微妙的聯繫。在這個小小的數學魔術裡面,甚至還隱含著時空不連續的秘密。

撰文| 董唯元

數學老師曾告訴我們,只有收斂的級數才能求解無窮項之和,然而在一些科普書中,卻會遇到一個神奇的求和:

所有自然數之和怎麼會是負數,而且還是個分數?這到底是人性的扭曲,還是道德的淪喪?

把對稱軸當作級數和

想要理解這個古怪的結論,我們先來看一個簡單的例子:1, -1, 1, -1, ……這個序列可以求無窮項之和嗎?意大利數學家格蘭迪(Dom Guido Grandi,1671-1742)早在1703年就開始認真琢磨這個問題,可以說,這是所有發散級數求和研究的起點,這個序列後來就被命名為“格蘭迪級數”。

意大利數學家格蘭迪丨圖源:維基百科

也許有小伙伴猜測,這個序列中1和-1的數量既然同樣多,那麼總和就應該等於0。可惜這樣的猜測是錯誤的。無窮集就像個再生能力很強的變形蟲,部分與整體同樣多。我們從序列中拿走任意個1或者-1之後,剩下的1和-1數量仍然相同。如果所剩下的1和-1加和為零的話,那麼豈不是總的求和僅由先取出的1或-1的數量決定——也就是任意整數。這顯然太不靠譜了,看來壓根不能依靠比較1和-1的數量來求和。

還有個辦法,就是藉助收斂的級數尋找線索。我們知道,在|q|<1時,

現在我們粗暴地讓q=-1,於是就出現了

這個結果似乎還能令人接受,可是,q=-1畢竟是個“不合法”的條件,我們需要更合理的途徑來安撫內心的不安。如果把這個級數的前n項和記做A(n),我們現在動手來求A(∞)。

哈!根據這個等式,我們又一次得到了A(∞)=? 的結果。這回貌似沒有明顯違法的地方了,警察來了也不怕。可是,總還是感覺哪裡不對。

A(1)= 1

A(2)= 1-1 = 0

A(3)= 1-1 + 1 = 1

可以看出A(n)在1和0之間來回跳動,按照極限的定義,

這個極限不存在。當我們寫下A(∞)這個符號時,它究竟指代什麼,還沒有清楚的定義。其實這也是發散級數求和的基礎問題:如何定義發散級數的和。

相關的定義不止一種。大體來說,主要有切薩羅求和與阿貝爾求和兩類,另外拉馬努金和黎曼等人也發展出許多更一般性的理論,中間還摻有源自歐拉的諸多貢獻。那些數學語言雖嚴格,但催眠和勸退的副作用也不小,所以本文不打算糾結於那些從集合論談起的基礎定義,只使用非常“物理”的視角來定義:A(∞)表示所有A(n)的平均值。

以“平均值”定義的求和方式,使許多發散級數都可以進行求和。例如

1-2 + 3-4…

這個級數,也可以用同樣的方法直接用眼睛瞪出結果。我們用B(n)表示前n項和,即

那麼

B(0)= 0

B(1)= 1

B(2)= 1-2 = -1

B(3)= 1-2 + 3 = 2

把這些B(n)所對應的點畫在圖上之後,完全不需要動筆計算,用眼睛就可以直接看出所有B(n)的平均值是1/4。

如果只看圖還不放心,我們也可以藉助前面A(∞)=? 的結論來推算B(∞):

稍微調整等式右邊的計算順序,先讓前面括號內第n項減去後面括號內第n項,然後再做加和。

A(∞)-B(∞)= B(∞)

所以

B(∞)=?A(∞)=?

把自然數之和變成-1/12的魔術

當然,畫出點來再用眼睛直接瞪出結果的方法,有時候也需要一些技巧。就以全體自然數之和為例,我們同樣地令C(n)代表前n項和

麻煩出現了!顯然C(n)對應的點都分佈在一根上揚的拋物線上,沒辦法直接看出平均值,而且看起來壓根就不存在有限的平均值!別急,我們可以繼續變形。

這樣我們就把每個C(n)對應的點,都拆成上式中綠色項和紫色項所對應的兩個“半點”分別畫出來,居然又可以湊成兩條對稱的曲線。

當我們把無限個“半點”都辛苦畫完之後。就可以指著兩根曲線中間的對稱軸宣布:

因為所有C(n)的平均值就等於所有“半點”的平均值,而兩根曲線上的“半點”分佈完全對稱,只在綠色曲線的開頭位置差了一個無關緊要的0。

除了看圖猜值,我們也可以藉助剛才的B(∞)=? 那個結果,再來計算一遍C(∞)。

調整順序後

於是得到

所以

其實,能夠得到-1/12 這個結果的途徑還有許多。例如神奇的Zeta函數

這個以復數s為變量的函數,因著名的黎曼猜想及其與數論的緊密聯繫而被反复研究。數學家們可以寫出這個函數的許多種變化形式,其中一種解析延拓到全部復平面的形式是

用這個形式也可以計算出

既然經過這麼多五花八門的方式,都殊途同歸到-1/12 這個結果,我們是不是可以把1+2+3+…=-1/12 這個式子堂而皇之地寫進中學課本中呢?相信許多人會跟我一樣,對此仍惶恐不安。因為在前述所有推演過程中,都埋藏著一個頗為隱蔽的問題,那就是等號的意義。將

直接寫成

似乎理所當然,但其實兩個式子中,前面的“=”代表的是“定義為”,而不是量值相等。所以,更清楚的寫法應該是

這樣就能看出,-1/12 這個數值,並不像1+1=2那樣自然天成理所應當,而是需要事先假定“全體自然數之和是一個確定的數”,然後再精心挑選出一個邏輯自洽性最好的數值,指定其為全體自然數之和。只不過當邏輯自洽性和直覺發生明顯衝突的時候,我們都會感覺驚詫,這在數學發展的道路上已經不是什麼新鮮事了。

伸向無窮大的剪刀

前面的討論中,我們直接無視了數學極限概念,粗暴地使用平均值當做發散級數的和。現在讓我們重新撿起極限概念,從另一個角度看看-1/12是怎麼跑出來的。

對C(n) 這個發散級數,我們可以引入某個剪刀函數f(x) 來壓制那些趨向無窮大的項,從而使發散的趨勢在某個特定的位置N附近停下來,並最終收斂到某個極限S(N)。這樣我們就用標準的極限概念構造出一個S(N),當N有限時,S(N)是個有限值,而當N趨於無窮大時,S(N)就對應著全體自然數之和。

可以充當剪刀的函數有許多,比如我們取

此時

通過數值計算,我們發現S(N)隨著N的增加而奔向正無窮。這倒是符合我們先前的直覺了,可是說好的-1/12呢?別急,我們再把S(N)用1/N展開看看。我們發現S(N)在大N的數值結果,可以被下面的展開式很好的擬合

哈!居然又看到了這個-1/12,它是S(N)展開式中的常數項。也就是說,在S(N)中與N的變化無關的成分,就是-1/12。當N足夠大時,那些含1/N的項都可以忽略,S(N)可以被看做一根最低點在-1/12處的拋物線。

我們再取剪刀函數f(x)=e^(-x) 試試。此時

這個求和可以嚴格計算出來。我們先對下面的等式兩邊求β的導數

可以得到

同樣在大N條件下做1/N展開,就得到

取β=1就得到

同樣也出現了常數項-1/12,而且也是根下垂到-1/12處的拋物線

如果f(x) 直接取為跳變函數,也就是在n=N處突然截斷,那麼

就不會有-1/12這個常數項。

看起來,除了跳變函數的突然截斷,其他平滑的截斷方式都能得到

這個有趣的結果。這似乎是告訴我們,全體自然數之和即使注定無法擺脫走向無窮大的宿命,卻出於某種神秘的理由一直對-1/12情有獨衷。亦或可以說,

發散項只是平庸無奇的底色,而-1/12才是刻寫在底色上的性格內核。

真空的能量

站在實用的視角來說,我們有時候需要像使用收斂級數一樣處理自然數之和,所以就不得不找到某個確定的“韁繩”來駕馭。比如在研究真空能量的時候,物理學家就遇到了全體自然數之和,而且非常希望這個和是個確定的數。

在量子場論的理論模型中,真空就像一張立體彈簧網,由無數小彈簧橫縱交織而成。而所謂粒子,就是其中某些小彈簧的振動足夠劇烈,以至於遠遠望去以為彈簧網中出現了什麼異物似的,但只要湊到近處就會看出,那裡除了振動本身別無他物。也就是說,粒子本質上就是真空的振動。因此,當能量變化時,粒子的數量不必受任何守恆律的約束,可以憑空增加或者減少。不過,粒子能否產生或消失卻與小彈簧的振動頻率有關。在振動頻率為ω時,粒子數n與場的能量E之間存在這樣的關係:

從關係式可以看出,真空每攢夠一份?ω大小的能量,就會產生出一個粒子;反之每減少一份就會擦除一個粒子。或者乾脆說,每個粒子其實就是個?ω大小的能量包。有趣的是n=0時,它對應著真空裡沒有粒子的情況,此時能量是??ω。也就是說,當真空的能量低到不能再低的時候,能量仍然不是0,這就是真空零點能。下面我們來具體計算一個有限空間內的真空能量,看看它與全體自然數求和到底是什麼關係。

將所有頻率的零點能累加起來,真空中總能量就是

瞧,自然數之和

就這樣出現了,現在你應該能夠理解,物理學家們是多麼希望

是個確定數值了吧。更有意思的是,如果姑且憨憨地認為自然數之和就是-1/12的話,我們甚至可以設計一個物理實驗來驗證這個結論。

如下圖這樣放置三塊相互平行的金屬板,使甲乙之間距離為a,乙丙之間距離為b。

根據剛才的結論,我們知道甲乙之間的真空能量是

乙丙之間的真空能量是

現在我們想知道,當a<b時,中間位置的金屬板乙會受到哪個方向的力。根據能量對位置的偏導可以求解受力情況。結果發現:如果

的話,金屬板乙會受到一個向右的力;反之則受到向左的力。

其實,實驗裝置還可以進一步簡化,我們可以把最右邊的丙拿到無窮遠處,只留下甲和乙,然後測量甲乙之間是吸引還是排斥,如果相互排斥,就說明

反之則說明

這個實驗設想最早由荷蘭物理學家卡西米爾(Hendrik Casimir,1909-2000)在1948年提出,當然提出實驗的目的才不是測量自然數之和,而是為了驗證真空零點能的存在。事實上,卡西米爾當年在提出這個實驗的時候,就已經預言兩金屬板之間相互吸引,也就是對應

的情況,因為他的理論推算過程已然採用了解析延拓後的黎曼Zeta函數。 1996年,華盛頓大學的Lamoreaux用實驗證實了卡西米爾效應的存在,論文發表在1997年1月的《物理評論快報》(PRL)上。

需要澄清的是,卡西米爾效應的實驗證實,只能說明真空零點能的存在,但是並不能真的用來驗證數學意義上的所有自然數之和。其實,現實中的金屬板只能阻攔有限頻率範圍內的電磁波,當頻率大過某個數值時,金屬板就無法阻攔這種極高頻率的波。所以從更精確的角度計算卡西米爾效應時,需要考慮這種高頻截斷。不過具體計算會用到歐拉-麥克勞林公式和伯努利數這些催眠的內容,本文就不再涉及了。

下面我們轉到弦理論,看看所有自然數之和是如何與維度的數量產生關係的。

時空的緯度

前面提到,兩端固定的一根彈簧之上只能存在駐波,所有振動頻率只能是最低頻率的整數倍。對一根兩端完全自由的弦來說,結論同樣成立。兩端固定意味著端點速度為零,而兩端自由則意味著端點的加速度為零。二者之間的差別,無非就是傅里葉分解時該寫成

還是

而已。也就是說,長度為L的弦,肯定有個像自然數序列一樣的離散頻率譜

另外,弦理論中的量子化方式與量子場論所使用的技術手段如出一轍,所以同樣存在

關係。這意味著能量最低的弦並不是完全靜止,而是具有

的能量,而且在每一個可以振動的維度上,都有這些能量。

假設空間維度數是d,那麼一個被激發成光子的弦所具有的最低總能量就是

Published
Categorized as 最新消息