0.999…到底等不等於1?


0.999...到底等不等於1?的頭圖

0.999…到底等不等於1?

撰文| 楊浩

01 如何嚴謹地證明0.999…=1?

知乎上有一個數學問題引發了大家的討論——“如何嚴謹地證明0.999…=1?關於此問題的回答也是五花八門,各抒己見。這個問題的有趣之處在於不同數學水平的人會有不同的理解。

為了後面能夠把這個問題討論清楚,我們先整理了幾個知乎上的高人氣“抖聰明”答案。

答案一:

根據人教版小學四年級下冊教材:“如何比較小數的大小?先比較整數部分,整數部分越大,小數越大;整數部分相同的,再比較小數部分……”,顯然” 0.999…< 1 “,二者並不相等。

答案二:

同樣根據小學分數與小數的互化,

有1/3=0.333… ,

於是1/3×3=0.333…×3 ,

即1=0.999^ 。

答案三:
利用初中代數與方程的思想,

設x=0.999…,

則10x=0.999…,

於是10x-x=9x ,9x=9,x=1。

答案四:
利用高中等比數列求和與極限的思想描述0.999… :

上述幾種方法分別代表了小學、初中、高中數學知識水平,在一定的知識能力範圍內,這些證明似乎都正確。

那麼,到底哪個才是足夠嚴謹的證明?

0.999… 與1 是不是真的相等?這就要追溯到幾百年來數學家們對無窮小量的探討之中。

02 無窮小量的產生

無窮小量的產生來源於17世紀微積分的創立。微積分的誕生首先是為了解決一系列自然科學的問題(求瞬時變化率、求曲線的切線等等),牛頓(Isaac Newton, 1643-1727)和萊布尼茲( Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716 )先後獨立地建立了微積分理論體系。

1669年牛頓在《運用無窮多項方程的分析學》一書中初次提出了他的想法(這本書直到1711年才出版)。

萊布尼茲也推出了同樣的結果。

牛頓和萊布尼茲都使用了無窮小的方法,儘管後來微積分迅速普及並且被廣泛地使用,但也掩蓋不了這種方法在邏輯上的不嚴密。

由於無窮小量(無論是牛頓的o ,還是萊布尼茲的dx )沒有被明確的定義,很快,微積分就迎來了一系列質疑的聲音——無窮小量和0 到底有怎樣的區別?推理過程中為什麼能夠直接捨棄無窮小量,而無窮小量的和卻可以是有限的量?

針對這些疑問,牛頓和萊布尼茲意識到微積分存在的問題,也各自作出了回應。

1671年,牛頓闡述:變量是由點、線、面的連續運動產生的。 1676年,他又說,流數(變量的變化率)是增量的最初比。

萊布尼茲在1690年寫給沃利斯的信中說:“考慮這樣一種無窮小量將是有用的,當尋找他們的比時,不把它們當做是零,但是只要它們和無法相比的大量一起出現,就把它們捨棄……”

可以看出,他們試圖把自己的理論說清楚,但無窮小量的確切含義,仍然十分模糊。

03 無窮小量的爭議與解決

18世紀初,微積分的不嚴密性招致了教會的攻擊。由於害怕機械論和決定論對宗教的威脅,英國大主教貝克萊於1734年發表《分析學者》一文抨擊牛頓是“依靠雙重的錯誤得到了雖然不科學卻是正確的結果”。

數學家們當然不能容忍這種對數學的輕蔑,他們立即加入了爭論,並且繼續嘗試給微積分提供嚴密的基礎,雖然大部分都失敗了,但我們不能否認的是,在得到正確的結果之前,有一些數學家的貢獻是不可忽視的。

沃利斯在《無窮的算術》中,提出了函數極限的概念,產生了新思想的萌芽。

歐拉則是把微積分從幾何中解放出來,而使它建立在算術和代數的基礎上,為基於實數係統的微積分的根本論證開闢了道路。

進而,導數、積分、收斂性、無窮級數等概念一一被嚴格確定下來,關於無窮小量的長達兩個多世紀的爭論(也稱第二次數學危機)終於結束。

但這並不是基礎研究的終點,所有相關的研究工作都是以承認實數係為先決條件的,而實數係的邏輯基礎到19世紀後半葉才逐漸建立起來。實數係的建立者是康托爾(同時建立了集合論),在有理數係的基礎上,他引入了一個新的數類——實數。

如今,實數理論進一步發展為實變函數論,已經成為微積分的一個重要分支,實變函數也是數學專業大學生的主要課程之一。

04 無窮小量、極限和高中數學的關係

現在我們可以發現0.999…<1 的問題,本質上是數學基礎的問題,它反映了實數的稠密性和完備性。

換句話說,如果這兩個數不相等,那麼實數理論,以及建立在實數係基礎之上的微積分的大廈將會崩塌。
在高中階段,我們也會學習簡單的微積分知識,比如導數和定積分的運算,在數學中,我們可以運用導數解決函數的最值問題;在物理中,可以根據位移函數求瞬時速度和加速度,也可以解決簡單的天體物理運動問題。

因此,高中數學課本中對導數的解釋其實是有些模糊不清的,事實上,到大學數學分析中,我們才能學到函數的連續性、導數、積分最明確、嚴謹的定義。數學是最講邏輯的學科,數學家們花了近3個世紀,才把微積分的理論從建立到完善,甚至直到今天,還有一些懸而未決的問題。
相信大家看完文章後,也會對微積分、對數學有全新的認識,直觀感受有時也會導致錯誤的結果。我們以後在思考問題的過程中,也要爭取像數學家們一樣,力求嚴謹,不能似是而非。

本文經授權轉載自微信公眾號“新東方智慧學堂”。原標題為《0.999…到底等不等於1?400多個知乎回答,都不算對》。